ראש המוסד לשעבר שבתי שביט הלך לעולמו בגיל 84 במהלך חופשה פרטית באיטליה. ראש המוסד דדי ברנע ספד לו: "לאחר פרישתו המשיך שביט לתרום רבות לשימור המורשת והידע הארגוני, וחנך דורות של ראשי מוסד ומפקדים בארגון. שביט כיהן כנשיא אגודת הגמלאים של המוסד במשך שנים ארוכות וראה בכך שליחות חשובה.
"משפחת המוסד מרכינה ראש היום בענווה ובצער רב על לכתו של מפקד וראש מוסד אמיץ, ערכי, מסור ומוערך אשר הקדיש את חייו למדינת ישראל ולביצור ביטחונה", הוסיף.
שר הביטחון יואב גלנט: "כואב את מותו של שבתי שביט, ראש המוסד לשעבר, מטובי בניה של מדינת ישראל. כקצין צעיר בשייטת זכיתי להכיר את שבתאי ולהתרשם מעומק יכולותיו ומן התחכום שליווה את פעילותו. מאז, נפגשנו פעמים רבות בצמתים מבצעיים, שבתאי כדרכו, תמיד שקול, קר רוח ומאוזן".
ב-1964, עם סיום לימודיו באוניברסיטה, התגייס שביט למוסד. הוא שירת כקצין איסוף באגף צומת. לאחר מכן שימש כקצין המבצעים של הארגון ופעל בין היתר באיראן בתקופת שלטונו של השאה האחרון כקצין איסוף מודיעיני ולקח חלק בסיוע למורדים הכורדים בעיראק.
בשנים 1980 עד 1985 עמד בראש אגף קיסריה וריכז את מבצע חטיפת מרדכי ואנונו. שימש ראש אגף המטה וב-1986 מונה לסגן ראש המוסד וכיהן בתפקיד עד 1989. בהיותו סגן ראש המוסד היה מעורב בין היתר בתכנון מבצע הצגת תכלית (חיסול אבו ג'יהאד בתוניס).
ב-1989 מונה לראש המוסד. תקופת כהונתו התאפיינה במעבר מעבודה שהתרכזה במודיעין אזורי לפרישֹה רחבה ועיסוק במודיעין גלובלי. בין היתר הרחיב את תחומי הפעולה למזרח אירופה, עם קריסת השלטון הקומוניסטי, וכן לדרום אמריקה. שביט שינה את אופן המידור בארגון, ועיבה את תחום המחקר המודיעיני על ידי הקמת צוותי מחקר אסטרטגיים.
בעת כהונתו של שביט חוסל בבריסל המהנדס הקנדי ג'רלד בול, מפתח תותח-העל, ובאמצעי התקשורת דווח כי המוסד חיסל אותו במטרה למנוע ממנו לסייע לסדאם חוסיין. ב-1992 חוסל בפריז בכיר אש"ף עאטף בסיסו, שהיה מעורב בטבח הספורטאים באולימפיאדת מינכן עשרים שנה לפני כן. בשנת 1995 חוסל במלטה ד"ר פתחי שקאקי, שהיה מנהיג הג'יהאד האסלאמי - וגם פעולה זו יוחסה למוסד. ב-1996 פרש. גם לאחר פרישתו הוסיף לפעול בנושאים חשאיים, והיה בין היתר שליחו של ראש הממשלה אריאל שרון לטוויית קשרים מיוחדים עם ראש המודיעין המצרי עומר סולימאן ב-2001.
לאחר פרישתו מראשות המוסד שימש מנכ"ל מכבי שירותי בריאות. לאחר מכן שימש גם כסגן נשיא ויו"ר חברת "אתנה" לאבטחה, אותה הקים בשותפות עם יוסי מימן. שביט נמנה עם מנסחי אמנת כנרת השואפת ליצור מכנה משותף לזרמים והמחנות השונים ציבור היהודי (ימין-שמאל, דתיים-חילוניים וכו') ואף חתם עליה ביחד עם שורה של אנשי ציבור מהימין והשמאל.